Contoh Soal Persamaan Kuadrat Kelas 10 [+ Cara dan Pembahasan]

Contoh Soal Persamaan Kuadrat - Haaiii.. kali ini kita akan membahas materi yaitu tentang persamaan kuadrat yang mana materi ini dipelajari pada kelas 10. 

pada artikel ini akan dibahas materi yang cukup ringkas namun mudah dimenerti kemudian dilanjutkan dengan contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya agar teman-teman lebih paham.

yuukkkk.....

Rumus Persamaan Kuadrat

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.



Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab: (x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 = x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = –2 atau x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.
Jawab: 2 x2 – 8 x + 7 = 0
2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½
x – 2 = atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2
Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + Ö2 dan 2 – Ö2.

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.

Jawab: x2 + 7x – 30 = 0

a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.

Apabila:

D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .

D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
x2 + 5 x + 2 = 0
x2 – 10 x + 25 = 0
3 x2 – 4 x + 2 = 0

Jawab :

x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.

x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.

3 x2 – 4 x + 2 = 0
a = 3 , b = –4 , c = 2
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.

3. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.

Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !
Jawab: (x – ) (x – ) = 0
= 0
6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x2 – 5 x + 1 = 0

b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.

c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3

p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.

Contoh 2:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..

sekian ya rangkuman materi persamaan kuadratnya semoga dapat membantu teman-teman semua..

Grafik fungsi kuadrat

Banyak cara yang dapat dilakukan untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat. diantaranya yaitu dengan cara memfaktorkan dan dapat juga dilakukan menggunakan rumus abc.

terserah sih kalian suka yang mana yang penting mudah dapat meyelesaikan akar persamaan kuadrat yang baru.

kali ini mimin mau bagiin nih sama temen-temen contoh soal dan pembahasan persamaan kuadrat agar dapat mempermudah teman - teman memahaminya . .

Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Soal No. 1
Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:
a) p2 − 16 = 0
b) x2 − 3 = 0
c) y2 − 5y = 0
d) 4 x2 − 16 x = 0

Pembahasan
a) p2 − 16 = 0
(p + 4)(p − 4) = 0
p + 4 = 0 → p = − 4
p − 4 = 0 → p = 4

Sehingga x = 4 atau x = − 4
Himpunan penyelesaian {−4, 4}


b) x2 − 3 = 0
(x + √3)(x − √3) = 0
x = √3 atau x = − √3

c) y2 − 5y = 0
y(y − 5) = 0
y = 0 atau y = 5

d) 4 x2 − 16 x = 0
Sederhanakan dulu, masing-masing bagi 4 :
x2 − 4 x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4

Soal No. 2
Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:
a) x2 + 7x + 12 = 0
b) x2 + 2x − 15 = 0
c) x2 − 9 + 14 = 0
d) x2 − 2x − 24 = 0
Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat di atas!

Pembahasan
Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + C = 0
Untuk nilai a = 1 seperti semua soal nomor 2, pemfaktoran sebagai berikut:

→ Cari dua angka yang jika di tambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) menghasilkan c


a) x2 + 7x + 12 = 0
+ → 7
x → 12
Angkanya : 3 dan 4

Sehingga
x2 + 7x + 12 = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
x = − 3 atau x = − 4


b) x2 + 2x − 15 = 0
+ → 2
x → − 15
Angkanya : 5 dan − 3

Sehingga
x2 + 2x − 15 = 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = − 5 atau x = 3


c) x2 − 9 x + 14 = 0
+ → − 9
x → 14
Angkanya : −2 dan − 7

Sehingga
x2 − 9x + 14 = 0
(x − 2)(x − 7) = 0
x = 2 atau x = 7


d) x2 − 2x − 24 = 0
x2 − 9 + 14 = 0
+ → − 2
x → − 24
Angkanya : − 6 dan 4

Sehingga
x2 − 2x − 24 = 0
(x − 6)(x + 4) = 0
x = 6 atau x = − 4

Soal No. 3
Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:
a) 2x2 − x − 6 = 0
b) 3x2 − x − 10 = 0
Faktorkan persamaan-persamaan di atas!

Pembahasan
Bentuk yang sedikit lebih sulit dari nomor 2,
Untuk ax2 + bx + c = 0
dengan a tidak sama dengan 1, maka
Cari dua angka, namakan P dan Q
→ jika dijumlah (+) hasilnya adalah b atau P + Q = b
jika di kali (x) hasilnya adalah ac atau P.Q = ac

kemudian masukkan dua angka tadi (P dan Q) ke pola berikut:

1/a (ax + P)(ax + Q) = 0

seterusnya liat contoh bawah
a) 2x2 + x − 6 = 0
data
a = 2, b = 1 dan c = − 6
Cari angka P dan Q
P + Q = b = 1
P.Q = ac = (2)(−6) = − 12
Sehingga P = 4 dan Q = − 3

masukkan pola
1/a (ax + P)(ax + Q) = 0
1/2(2x + 4)(2x − 3) sederhanakan, kalikan 1/2 dengan (2x + 4)
(x + 2)(2x − 3) = 0
x = −2 atau x = 3/2

b) 3x2 − x − 10 = 0
a = 3, b = − 1, c = − 10
P + Q = b = − 1
P.Q = ac = (3)(−10) = − 30
→ P = −6, Q = 5
1/3(3x − 6)(3x + 5) = 0
(x − 2)(3x + 5) = 0
x = 2 atau x = − 5/3


Soal No. 4
Diberikan persamaan kuadrat sebagai berikut:
2x2 + x − 6 = 0
Faktorkan persamaan-persamaan di atas dengan menggunakan Rumus ABC!

Pembahasan
Rumus ABC


2x2 + x − 6 = 0
a = 2, b = 1 dan c = − 6
Masuk rumus ABC




Soal No. 5
Akar-akar persamaan kuadrat x2 - 2x + 8 = 0 adalah...
A. - 2 dan 2
B. - 2 dan 4
C. - 3 dan 3
D. 3 dan 4
E. 4 dan 4

Pembahasan
Faktorkan:
x2 - 2x + 8 = 0
(x - 4) (x + 2) = 0
x1 = 4 dan x2 = - 2

Soal No. 6
Akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 3x + 2 = 0 adalah...
A. - 1 dan - 2
B. - 1 dan 2
C, 1 dan - 2
D. 1 dan 2
E. 2 dan 2

Pembahasan
x2 + 3x + 2 = 0
a = 1, b = 3 dan c =2
Gunakan rumus abc

Jawaban : A


Soal No. 7
Persamaan kuadrat x2 + 3x + 4 = 0 memiliki akar-akar persamaan x1 dan x2. Maka x1 + x2 = ...
A. - 4
B. - 3
C. 1
D. 3
E. 4

Pembahasan
x2 + 3x + 4 = 0
a = 1, b = 3 dan c = 4
Sehingga:
x1 + x2 = - b / a = - 3/1 = - 3

Soal No. 8
Persamaan kuadrat x2 + 3x + 4 = 0 memiliki akar-akar persamaan x1 dan x2. Maka x12 + x22 = ...
A. - 4
B. - 3
C. 1
D. 3
E. 4

Pembahasan
x2 + 3x + 4 = 0
a = 1, b = 3 dan c = 4
Sehingga:
x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1 . x2 = (- b/a)2 - 2 (c/a)
x12 + x22 = (-3/1)2 - 2 (4/1) = 9 - 8 = 1
Jawaban: C

Cukup sekian Contoh Soal Persaman Kuadrat semoga dapat membantu teman-teman dalam memahaminya. dan jangan lupa untuk terus mencoba supaya lebih mahir dalam mengerjakan.