Contoh Soal Peluang, Kombinasi, Permutasi [+Cara dan Pembahasan]

Contoh Soal Peluang Rumus peluang adalah P(A) = n(A)/n(S), yaitu pembagian jumlah ruang sampel dengan jumlah ruang semesta kejadian peristiwa.

Membahas mengenai peluang tidak terlepas dari percobaan, ruang sampel, dan kejadian. pada soal peluang kelas 11 kita akan mempelajari beberapa contoh soal peluang kombinasi dan peluang bersayarat.

yukk.. langsung saja....

Kaidah pencacahan

Ada tiga metode dalam kaidah pencacahan:

Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

Untuk memahami metode ini, kita dapat menjabarkannya menggunakan pasangan terurut. Jika suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam $n_1$ cara yang berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam cara yang berbeda, dan seterusnya maka kejadian-kejadian itu secara berurutan dapat terjadi:

$n_1 \times n_2 \times n_3$ … cara yang berbeda

Sebagai ilustrasi: misalkan seorang pekerja memiliki 4 buah kemeja dan 2 buah dasi yang masing-masing mempunyai warna yang berbeda. Berapa pasangan warna kemeja dan dasi yang dapat dibuat? Jika himpunan kemeja adalah k = ( $k_1, k_2, k_3, k_4$ ) = 4 buah dan himpunan dasi adalah d = ( $d_1, d_2$ ) = 2 buah. Sehingga dapat ditentukan bahwa:

$n_k \times n_d$ = 4 x 2 = 8 cara

Permutasi

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Dalam permutasi perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat dari 1 sampai n adalah n! (dibaca : n faktorial) atau :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$

Contoh, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yaitu:

1. Permutasi dari elemen yang berbeda

Permutasi elemen dari elemen yang ada (setiap elemen berbeda) adalah susunan elemen itu dalam suatu urutan yang diperhatikan. Jika , ( $r > n$ ) permutasinya: $_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!}$ .

Sehingga jika $n = r$ , permutasinya: $_nP_r = n!$ .

Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dari 3 huruf : a,b,c adalah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dengan $_3P_3 = 3! = 6$ . Sedangkan menyusun 2 elemen dari 3 huruf adalah dengan . $_3P_2 = \frac{3!}{(3 - 2)!} = 3! = 6$ .

2. Permutasi dengan Beberapa elemen yang sama

Setiap unsur yang digunakan tidak boleh lebih dari satu kali. Banyak permutasi elemen n yang memuat elemen $n_1, n_2, n_3 \cdots, n_r,$ , dengan $n_1 + n_2 + n_3, \cdots n_r \le$ adalah:

$_nP(n_1,n_2,n_3, \cdots, n_r) = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!}$

Sebagai ilustrasi: ada 3 bola basket dan 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya:

$p = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!} = \frac{6!}{3! 2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = 60$ .

3. Permutasi siklis

Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk menghitung banyak cara yang dapat dibuat dari susunan melingkar. Rumusnya adalah

$P_(siklis) = (n - 1)!$

Sebagai ilustrasi: banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dalam 1 meja adalah

$P = (4 - 1)! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang adalah permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini adalah

$P_(berulang) = n^r$

Sedangkan untuk rumus permutasi yang tidak boleh ditulis berulang adalah

$P_(tidak berulang)= \frac{n!}{(n - r)!}$

Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi adalah :

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$

Sebagai ilustrasi : kombinasi 2 elemen dari 3 huruf a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb tidak termasuk hitungan karena pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi adalah :

$_3C_2 = \frac{3!}{2! (3 - 2)!} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$
Binom Newton

Binom Newton berhubungan dengan bentuk $(a + b)^2$ . Dimana suku ke-r dari bentuk tersebut adalah :

Suku ke – r = $_nC_{r-1} \times a^{n-r+1} \times b^{r-1}$

Sebagai ilustrasi: koefisien $x^{27}$ dari $(x^2 + 2x)^{15}$ adalah:

$_nC_{r - 1} x a^{n - r + 1} x b^{r - 1} = _{15}C_{r - 1} x (x^2)^{15 - r + 1} x (2x)^{r - 1}$

$= _{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1}$

Agar x berpangkat 27 dibuat:

$27 = (30 - 2r - 2) +(r - 1)\overset{maka}{\rightarrow}r = 4$

Sehingga:

suku ke – 4 = $_{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1} = _{15}C_3 x (x^{30 -8 +2}) x (2x)^{4 - 1}$ .
$_{15}C_3 . x^{24}8x^3 = _{15}C_3 . 8x^{27} = \frac{15!}{12!3!}8x^{27} = 3640x^{27}$ .
Koefisiennya: 3640

Peluang Suatu Kejadian

Peluang atau probabilitas adalah kemungkinan sebuah kejadian dapat terjadi. Percobaan merupakan suatu proses yang dilakukan untuk kemudian memperoleh suatu hasil pengukuran, perhitungan, ataupun pengamatan. Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel (S). Sehingga kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.

Nilai probalitas antara 0 – 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil terjadi atau tidak mungkin terjadi. Sedangkan kejadian yang mempunyai nilai probalilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau kejadian yang sudah terjadi.

Peluang atau probabilitas suatu kejadian A dapat terjadi dengan k dan mungkin hasil terjadi m cara sebagai:

$P(A) = \frac{k}{m}$

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang kejadian yang akan terjadi dalam suatu percobaan atau:

$f_n(E) = n \cdot P(A)$

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang Gabungan Dua Kejadian

Dua buah kejadian A dan B dikatakan gabungan dua kejadian jika kejadian A dan B kejadian dapat terjadi bersamaan sehingga $A\cap B\neq {\O}$ dan menghasilkan rumus:

Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

Dua buah kejadian A dan B dikatakan gabungan dua kejadian saling lepas jika kejadian A dan B tidak mungkin terjadi bersamaan. Sehingga $A\cap B$ dan menghasilkan rumus:

Peluang Komplemen suatu Kejadian

Kejadian merupakan komplemen/ kebalikan A sehingga A danA’ merupakan kejadian saling lepas, maka $A\cap A' ={\O}$ . Sehingga menghasilkan rumus:

Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian disebut kejadian bersyarat jika munculnya kejadian pertama A mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua B. Maka peluang terjadinya kejadian B yang dipengaruhi oleh kejadian A ditulis dengan $P(B\mid A)$ . Bila $P(A\cap B)$ adalah peluang terjadinya A dan B , maka

$P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Contoh Soal Peluang dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Dalam sebuah kotak berisi 7 bola merah dan 5 bola putih. Dari kota itu diambil 3 bola sekaligus. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih adalah

Pembahasan 1:

Karena harus terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih maka peluang tidak terambilnya bola putih tidak termasuk itungan sehingga:

$P = 1 - P(O) = 1 - \frac{_7C_3 \times _5C_0}{_{12}C_3}$

$P = 1 - \frac{\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3!(7 - 3)!} \times \frac{5!}{0!(5 - 0)!}}{\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3!(12 - 3)!}}$

$P = 1 - \frac{35 \times 1}{220} = \frac{37}{44}$

Contoh Soal 2

Tentukanlah nilai n yang memenuhi persamaan

Pembahasan 2:

$3 \cdot \frac{(n + 1)!}{3!(n + 1 - 3)!} = 7 \cdot \frac{n!}{2!(n - 2)!}$

$3 \cdot \frac{(n - 1)n (n - 1)(n - 2)!}{(3.2.1)(n - 2)!} = 7 \cdot \frac{n(n - 1)(n - 2)!}{2 . 1(n -2)!}$

$3 \cdot \frac{(n + 1)n (n - 1)}{3.2.1} = \frac{7 \cdot n(n - 1)}{2.1}$

$\frac{3 . 2 . 1 (n + 1)n(n - 1)}{3 . 2 . 1 n(n - 1)} = 7$

$(n + 1) 7\overset{sehingga}{\rightarrow}n = 6$
Contoh Soal 3

Berapa banyak urutan yang dapat terjadi jika 5 bendera yang berwarna putih, merah, hijau, kuning, dan biru dipancang pada tiang-tiang dalam satu baris, dengan bendera putih selalu berada di salah satu ujung.

Pembahasan 3:

Karena bendera putih dipancang dalam salah satu ujung maka dengan 2 cara, sisa 4 bendera dapat diatur dalam $_4P_4$ cara, sehingga:

Jumlah urutan $= 2 \times _4P_4 = 2 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 48$ urutan.

Contoh soal peluang jawabannya

Soal No. 1
Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu setimbang, K menyatakan kejadian munculnya mata dadu bilangan genap. Peluang kejadian K adalah...
A. 1/6
B. 1/4
C. 1/3
D. 1/2
E. 1/4

Pembahasan
nK = 3
nS = 6
Sehingga PK = nK / nS = 3/6 = 1/2
Jawaban: D

Soal No. 2
Dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus RT yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan banyaknya cara pemilihan yang mungkin.

Pembahasan

contoh soal dan pembahasan peluang kelas 11

Jadi, banyaknya cara pemilihan adalah 60 cara.

Soal No. 3
Misal kita mempunyai 10 kartu yang bernomor 1 sampai 10. Jika satu kartu diambil secara acak, maka peluang terambiladalah kartu bernomor bilangan prima adalah...
A. 4/5
B. 3/5
C. 1/2
D. 3/10
E. 2/5

Pembahasan
nK = 5
nS = 10
maka PK = nK / nS = 5/10 = 1/2
Jawaban: C

Soal No. 4
Tentukan banyaknya susunan yang dapat dibuat dari kata “MATEMATIKA”

Pembahasan
n = 10 ; M = 2; A = 3 ; T = 2

Jadi, banyaknya susunan kata yang dapat dibuat ada 151.200 buah.

Soal No. 5
Pada suatu rapat dihadiri oleh 6 orang yang duudk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan duduk yang dapat terjadi?

Pembahasan
P = (n-1)!
= (6-1)!
= 5!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 120
Jadi, banyaknya susunan duduk yang dapat terjadi ada 120 cara

Soal No. 6
Seorang siswa memegang kartu remi yang berjumlah 52 buah dan meminta temannya untuk mengambil sebuah kartu secara acak. Peluang terambilnya kartu hati adalah....
A. 1/52
B. 1/13
C. 9 / 52
D. 1/4
E. 1/3

Pembahasan
nK = 13
nS = 52
Jadi PK = nK / nS = 13/52 = 1/4
Jawaban: D

Soal No. 7
Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15 orang suka Fisika dan 5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang yang terpilih itu:
a) suka matematika dan fisika
b) suka matematika atau fisika

Pembahasan
A = kejadian yang terpilih suka matematika
B = kejadian yang terpilih suka fisika
P(A) = 10/30
P(B) = 15/30

a) suka matematika dan fisika
yang suka matematika dan fisika ada 5 orang, dari 30 anak
P(A∩B) = 5/30

b) suka matematika atau fisika
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
= 10/30 + 15/30 − 5/30
= 20/30

Soal No. 8
Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah....
A. 1/40
B. 3/20
C. 3/8
D. 2/5
E. 31/40

Pembahasan
P(A) = peluang terambil bola merah dari kotak I.
Dalam kotak I ada 2 bola merah dari 5 bola yang ada di kotak A. Sehingga peluang terambilnya bola merah dari kotak I adalah
P(A) = 2/5

P(B) = peluang terambil bola putih dari kotak II.
Dalam kotak II ada 3 bola putih dari 8 bola yang ada di kotak II. Sehingga peluang terambilnya bola putih dari kotak II adalah
P (B) = 3/8

Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah
P(A∩B) = P(A) × P(B)
= 2/5 × 3/8
= 6/40
= 3/20

Penjelasan panjangnya sebagai berikut:

Isi kotak I adalah 2 merah, 3 putih. Beri nama sebagai:

M1, M2, P1, P2, P3.

Isi kotak II adalah 5 merah, 3 putih:

m1, m2, m3, m4, m5, p1, p2, p3 (biar beda hurufnya kecil)

Menentukan Ruang sampelnya

Jumlah titik sampelnya ada 40, jadi n(S) = 40. Dapatnya dari 5 x 8 = 40. Diagram pohonnya jika perlu seperti berikut:

M1, M2, P1, P2, P3 di kotak I dan pasangannya dari kotak II:

S ={(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1),..............., (P3, p2), (P3, p3) }

n(S) = 40

A = terambil bola merah dari kotak I.

A = {(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1), (M2, m2), (M2, m3), (M2, m4), (M2, m5), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3) }

n(A) = 16

Sehingga P(A) = 16/40

B = terambil bola putih dari kotak II

B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3), (P1, p1), (P1, p2), (P1, p3), (P2, p1), (P2, p2), (P2, p3), (P3, p1), (P3, p2), (P3, p3)}

n(B) = 15

Jadi P(B) = 15/40

Irisan antara A dan B (yang sama):

A ∩ B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3}

n(A ∩ B ) = 6

Sehingga P(A ∩ B ) = 6/40 = 3/20

catatan

Untuk

P (A ∩ B) = P(A) × P(B)

Dinamakan kejadian saling bebas.

Soal No. 9

Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilemparkan sekali bersama-sama di atas meja. Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam adalah...

A. 1/24

B. 1/12

C. 1/8

D. 2/3

E. 5/6

Pembahasan

A = kejadian munculnya angka 5 pada pelemparan dadu.

Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Diperoleh

n(S) = 6

n(A) = 1

Sehingga P(A) = 1/6

B = kejadian munculnya angka pada pelemparan uang logam.

Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {A, G} dengan A = angka, G = Gambar

n(S) = 2

n(B) = 1

Sehingga P(B) = 1/2

Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam dengan demikian adalah

P(A∩B) = P(A) × P(B)

= 1/6 × 1/2 = 1/12

Soal No. 10

Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk, sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 diantaranya busuk. Ibu menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik, peluangnya adalah....

A. 16/273

B. 26/273

C. 42/273

D. 48/273

E. 56/273

Pembahasan

10 buah jeruk di keranjang A, 2 buah busuk, artinya 8 yang bagus.

15 buah salak di keranjang B, 3 buah busuk, artinya 12 yang bagus.

A : kejadian terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A.

B : kejadian terpilih 5 salak bagus dari keranjang B.

Menentukan peluang dari kejadian A

Pengambilan 5 buah jeruk dari 10 buah jeruk yang ada di keranjang A, menghasilkan banyak cara (titik sampel) sejumlah

Sementara itu pengambilan 5 buah jeruk bagus dari 8 jeruk bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A

Menentukan peluang dari kejadian B

Pengambilan 5 buah salak dari 15 buah salak yang ada di keranjang B, menghasilkan banyak cara sejumlah

Sementara itu pengambilan 5 buah salak bagus dari 12 salak bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah

Sehingga peluang terpilih 5 salak bagus dari keranjang B

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A dan 5 salak bagus dari keranjang B

Sekian ya contoh soal peluang nya semoga dapat membantu. dan jangan lupa untuk terus mencoba yaa..

Saturday, 25 July 2020