Irisan Kerucut - Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola

irisan kerucut merupakan materi kelas 11 SMA  yang akan kita bahas pada blog ini. Bagian kerucut yang dipotong suatu bidang, hasil potongan tersebut akan membentuk sebuah bangun. Jika dipotong secara mendatar, hasil potongan kerucut berupa lingkaran. 

materi irisan kerucut matematika peminatan ini meliputi beberapa hal yaitu tentang irisan kerucut lingkaran, irisan kerucut elips, irisan kerucut parabola dan irisan kerucut hiperbola. semuanya akan dikupas secara lengkap dan ringkas. mohon maaf sebelumnya jika tidak menyediakan irisan kerucut pdf nya. untuk itu kita langsung saja ya..

Macam-macam irisan kerucut

Irisan Kerucut Lingkaran

Bentuk potongan irisan kerucut jika dipotong sebuah bidang dengan arah mendatar adalah lingkaran. Pembahasan materi irisan kerucut berupa bentuk lingkaran meliputi bentuk umum persamaan lingkaran dengan jari-jari dan pusat yang berbeda. Bentuk umum persamaan lingkaran dibedakan menjadi dua, yaitu berdasarkan pusat. 

Apakah pusat lingkaran berada di pusat koordinat kartesius O (0, 0) atau berada di suatu titik pada koordinat kartesius P(a, b). Selain itu, ada satu bentuk persamaan lingkaran yang diberikan dalam bentuk lain, yaitu x2+y2 + Ax + By + C = 0.
Simak ulasan persamaan rumus lingkaran lebih lengkapnya pada materi di bawah.

1. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dengan jari-jari r

Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r.

2. Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dengan jari-jari r

Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r.

3.Bentuk umum persamaan lingkaran II

Selain dua bentuk umum persamaan lingkaran yang telah diberikan di atas, ada juga bentuk umum persamaan lingkaran yang dapat digunakan untuk keduanya. Bentuk umum persamaan lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

Irisan Kerucut Elips

Hasil potongan dari irisan kerucut berikutnya yang akan dibahas adalah elips. Bentuk elips seperti lingkaran yang dipipihkan. Elips dibedakan menjadi dua, yaitu elips horizontal dan elips vertikal. Bagian-bagian elips yang penting untuk diketahui adalah sumbu mayor, sumbu minor, fokus elips, puncak elips, pusat elips, lactus rectum, dan lain sebagainya
Lihat lebih lengkapnya pada gambar di bawah.

Elips Horizontal

Elips Vertikal

Berikutnya, akan diulas materi tentang persamaan elips, baik untuk elips horizontal dan elips vertikal.

Persamaan Elips Horizontal

Perhatikan dua buah elips dengan dua pusat yang berbeda seperti pada gambar di bawah.

Berdasarkan dua elips di atas, akan diperoleh persamaan-persamaan di bawah.

Persamaan Elips Vertikal

Berikut ini adalah dua gambar elips vertikal dengan pusat O dan P.

Berdasarkan dua elips di atas, akan diperoleh persamaan umum elips di bawah.

Pada elips, hubungan antara puncak dan fokus (hubungan a, b, dan c) memenuhi persamaan di bawah.
Jika a > b (elips horizontal):
  a2 = b2 + c2 
Jika a < b (elips vertikal)
  b2 = a2 + c2
Pembahasan berikutnya adalah parabola. Simak uraian tentang irisana kerucut selanjutnya, yaitu parabola, pada uraian materi yang akan diberikan di bawah.

Irisan Kerucut Parabola

Bentuk parabola menyerupai kurva mulus pada persamaan kuadrat. Materi parabola yang akan dibahas di sini meliputi parabola dengan bentuk terbuka ke atas atau ke bawah dan parabola dengan bentuk terbuka ke samping kanan atau kiri. Bentuk parabola ini sesuai dengan persamaan yang membentuknya.
Dua bentuk parabola dapat dilihat pada gambar di bawah.

1. Parabola horizontal

 2. Parabola vertikal

Pertama, ulasan yang akan dibahas adala parabola dengan titik puncak O(0, 0). Bentuk umum persamaan parobola, baik untuk parabola horizontal atau parabola vertikal adalah sebagai berikut.
Perhatikan dua bentuk parabola, horizontal dan vertikal, pada gambar di bawah.

Bentuk umum persamaan parabola horizontal dan vertikal adalah sebagai berikut.

Kedua, ulasan yang akan dibahas adalah parabola dengan titik puncak P(a, b). Bentuk umum persamaan parobola, baik untuk parabola horizontal atau parabola vertikal adalah sebagai berikut.

Perhatikan dua bentuk parabola, horizontal dan vertikal, pada gambar di bawah.

Bentuk umum persamaan kedua parabola, horizontal dan vertikal, dapat dilihat pada tabel di bawah.

Selanjutnya, akan dibahas materi irisan kerucut yang terakhir, yaitu hiperbola. Simak ulasan materinya yang akan diberikan pada pembahasan di bawah.

Irisan Kerucut Hiperbola

Hiperbola adalah bentuk irisan kerucut terakhir yang akan diulas. Komponen penyusun parabola adalah kurva, asimtot, garis arah (dirtektris), titik fokus, titik puncak, dan lain sebagainya. Semua komponen penyusun hiperbola saling berkaitan sehingga dapat dirumuskan sebuah persamaan umum. Nantinya, akan diberikan rumus persamaan umum hiperbola. Sebelumnya, perhatikan unsur-unsur penyusun hiperbola berikut.
Berikut ini adalah gambar hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal beserta keterangan unsur-unsur penyusunnya.

1. Hiperbola Horizontal

2. Hiperbola Vertikal

Selanjutnya, akan diulas persamaan yang terdapat pada hiperbola. Untuk pembahasan yang pertama adalah hiperbola dengan pusat O(0,0).

Berikut ini adalah rumus umum pada hiperbola dengan pusat O(0,0).

Selanjutnya adalah hiperbola, baik hiperbola horizontal atau hiperbola vertikal, dengan pusat P(p, q).
Perhatikan dua bentuk hiperbola yang diberikan di bawah.

Rumus umum yang dapat digunakan sesuai dua gambar di atas dapat dilihat pada gambar di bawah.

Sekian pembahasan mengenai irisan kerucut yang meliputi lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Untuk materi Kedudukan Titik dan Garis terhadap Irisan Kerucut dapat anda klik link pada tulisannya. materinya terpisah dari materi kali ini.

contoh soal irisan kerucut dan jawabannya

Soal Parabola

soal 1.
Diketahui parabola y² = -16x. Tentukan

a. Koordinat titik fokus

b. Persamaan garis direktris

Jawab :

Parabola y² = -16x membuka ke kiri

Bentuk umumnya adalah y² = -4px

4p = 16 sehingga p = 4

Koordinat titik fokus adalah (-4, 0)

Persamaan direktris adalah x = 4

Soal 2.

Diketahui parabola x² = 24y. Tentukan

a. Koordinat titik fokus

b. Persamaan garis direktris

Jawab :

Parabola x² = 24y membuka ke atas

Bentuk umumnya adalah x² = 4py

4p = 24 sehingga p = 6

Koordinat titik fokus adalah (0, 6)

Persamaan direktris adalah y = -6

Soal 3.

Diketahui parabola x² = -20y. Tentukan

a. Koordinat titik fokus

b. Persamaan garis direktris

Jawab :

Parabola x² = -20y membuka ke bawah

Bentuk umumnya adalah x² = -4py

4p = 20 sehingga p = 5

Koordinat titik fokus adalah (0, -5)

Persamaan direktris adalah y = 5


Soal Hiperbola

Soal 1
Tentukan persaman asimtot dari persamaan 

x29−y216=1

Penyelesaian

Coba perhatikan bahwa sumbu utama persamaan hiperbola ini adalah sumbu x. Akibatnya, a² = 9 dan b² = 16, sehingga a = 3 dan b = 4.

Persamaan asimtotnya adalah

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x adalah

(x − p)2a2 − (y − q)2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(p + c, q) dan F₂(p – c, q).

Titik puncak adalah A₁(p + a, q) dan A₂(p – a, q).

Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jika sumbu utama hiperbola sejajar dengan sumbu y?

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y adalah

(y − q)2a2 − (x − p)2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(p, q + c) dan F₂(p, q – c).

Titik puncak adalah A₁(p, q + a) dan A₂(p, q – a).

Persamaan asimtotnya adalah

Soal 2
Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x² – 4y² – 36x – 8y + 68 = 0.

Tentukan titik pusat, titik puncak, dan titik fokus hiperbola tersebut!

Penyelesaian

Ayo, ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam bentuk baku.

9x² – 4y² – 36x – 8y + 68 = 0

9x² – 36x – 4y² – 8y = –68

9(x² – 4x + 4) – 4(y² + 2y + 1) = –68 + 36 – 4

9(x – 2)² – 4(y + 1)² = –36

4(y + 1)² – 9(x – 2)² = 36

(y + 1)29 − (x − 2)24 = 1

Persamaan hiperbola ini memiliki sumbu utama yang sejajar dengan sumbu y dengan a² = 9 dan b² = 4. Akibatnya, c² = a² + b² = 9 + 4 = 13.

Titik pusat hiperbola adalah (2, -1).

Titik puncaknya adalah (2, -1 + 3) = (2, 2) dan (2, -1 – 3) = (2, -4).

Titik fokusnya adalah

Persamaan Garis Singgung Hiperbola Sebuah garis digambarkan pada sebuah hiperbola. Salah satu kedudukan yang mungkin antara garis itu dan hiperbola adalah garis menyinggung hiperbola. Coba perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut garis g menyinggung hiperbola pada titik R(x₁, y₁).

a. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada hiperbola

• Persamaan garis singgung pada suatu titik R(x₁, y₁) pada hiperbola

x2a2 − y2b2 = 1

adalah

x1xa2 − y1yb2 = 1

Soal 3
Coba tentukan persamaan garis singgung pada titik (9, 2) yang terletak pada hiperbola 

(y + 2)248 − (x − 5)212 = 1

Penyelesaian

Persamaan garis singgungnya dapat dihitung seperti berikut.

(y 1− q)(y − q)a2 − (x1 − p)(x − p)b2= 1(2+ 2)(y + 2)48 − (9 − 5)(x − 5)12= 1(y + 2)12 − (x − 5)3=1

y – 4x + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y – 4x + 10 = 0.

b. Persamaan garis singgung bergradien m pada hiperbola

Misalkan garis g yang menyinggung hiperbola tersebut bergradien m, maka:

x2100−y264=1

Mungkin sekian materi irisan kerucutnya. jika butuh teman-teman bisam mendownload makalah irisan kerucut dan materi irisan kerucut ppt di internet. tetap semangat belajar.