Matriks - Determinan, Invers, Perkalian, Soal dan Jawaban

Pada kelas 10 teman-teman akan bertemu dengan materi bernama matriks. materi ini cukup asyik dipelajari. adapun materi yang terdapat pada bab ini yaitu Jenis-jenis matriks, ordo matriks, macam-macam matriks, Invers matriks, Determinan matriks, penjumlahan dan perkalian matriks dan masih banya lagi.

dan bagi teman-teman yang sudah penasaran bagaiaman caranya. coba pahami materi berikut dan kerjakan latihan soalnya ya.

Materi Matriks tentang Determinan, Invers, Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Pengertian Matriks

Matriks merupakan susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi atau persegi panjang, serta di batasi tanda kurung . perlu kalian ketahui bahwa matriks biasanya dilambangkan dengan sebuah huruf Besar.

Adapun tanda kurung yang biasa di gunakan adalah tanda kurung biasa ( ), atau tanda kurung siku [ ]. Biasanya bentuk umum sebuah matriks adalah sebagai berikut :

Dari matriks di atas di dapat keterangan sebagai berikut :

m = banyak baris

n = banyak kolom

A = matriks A

amn = elemen matriks A pada baris ke-m, kolom ke – n.

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. 

Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

Banyak baris, m = 3
Banyak kolom, n = 3
Ordo matriks,  m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. 

Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil: 

Dimana, e12 = 56 adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan  yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. 

Perhatikan matriks berikut:

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. 

Contoh:

atau

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. 

Contoh:
A = (1  4) atau B = (3  7  9) adalah matriks baris

 atau  adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.
Contoh:

 adalah matriks persegi berordo 3, atau

 adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks a_ij = 0untuk i > j atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks a_ij = 0 untuk i < j atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

adalah matriks segitiga atas,

adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks a_ij = 0 untuk i ≠ j atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

atau

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.
Contoh:

atau

6. Matriks Indentitas

Sudah dijelaskan di atas.

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen aij sama dengan elemen aij.
Contoh:

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Operasi pada matriks

 Penjumlahan Matriks

Operasi hitung matriks pada penjumlahan memiliki syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks dapay dijumlahkan. Syarat dari dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan jika memiliki nilai ordo yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.

Operasi hitung penjumlahan matriks memenuhi sifat komutatif, asosiatif, memiliki matriks identitas matriks nol, dan memiliki lawan matriks. Lawan matriks A adalah matriks  , di mana elemen-elemen matriks   merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara ringkas, sifat operasi penjumlahan matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.

Selanjutnya, kita akan mempelajari cara melakukan operasi hitung penjumlahan dua buah matriks. Penjelasan akan diberikan dalam bentuk contoh soal secara umum.

Contoh cara melakukan operasi penjumlahan pada matriks:

Bagaimana penjelasan mengenai penjumlahan matriks, mudah bukan? Sekarang kita akan masuk pada pembahasan selanjutnya yaitu operasi hitung pengurangan matriks. Simak uraian di bawah.

Pengurangan Matriks

Seperti halnya operasi hitung penjumlahan matriks, syarat agar dapat mengurangkan elemen-elemen antar matriks adalah matriks harus memiliki nilai ordo yang sama. Cara melakukan operasi pengurangan pada matriks dapat dilihat seperti cara di bawah.

Cara melakukan operasi pengurangan dua matriks tidak jauh berbeda dengan penjumlahan matriks. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal pengurangan matriks secara umum yang akan diberikan di bawah.

Contoh cara melakukan operasi pengurangan pada matriks:

Perkalian Matriks

Pembahasan operasi hitung matriks selanjutnya yang akan dibahas adalah perkalian matriks. Perkalian matriks yang akan dibahas di bawah adalah perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks. Selengkapnya simak operasi hitung perkalian matriks di bawah.

Perkalian Matriks dengan Skalar

Cara melakukan operasi skalar pada matriks adalah dengan mengalikan semua elemen-elemen matriks dengan skalarnya. Jika k adalah suatu konstanta dan A adalah matriks, maka cara melakukan operasi perkalian skalar dapat dilihat melalui cara di bawah.

Cara melakukan perkalian matriks dengan skalar cukup mudah dilakukan. Contoh soal cara melakukan perkalian matriks yang akan diberikan di bawah akan menambah pemahaman sobat 

Contoh cara melakukan operasi perkalian skalar pada matriks:

Diketahui konstanta k = 2 dan sebuah matriks A dengan persamaan seperti di bawah.

Maka hasil perkalian konstanta k dengan matriks A adalah sebagai berikut.

Operasi Perkalian Dua Matriks

Seperti yang telah disinggung sebelumnya, syarat dua buah matriks dapat dikalikan jika memiliki jumlah kolom matriks pertama yang sama dengan jumlah baris matriks ke dua. Ordo matriks hasil perkalian dua matriks adalah jumlah baris pertama dikali jumlah kolom ke dua.

Matriks A memiliki jumlah kolom sebanyak m dan jumlah baris r, matriks B memiliki jumlah kolom sebanyak r dan jumlah baris m, hasil perkalian matriks A dan B adalah matriks C dengan jumlah kolom m dan jumlah baris n.

Sebelum mengulas cara melakukan operasi perkalian dua buah matriks, sebaiknya kita perlajari dahulu sidat-sifat operasi perkalian dua matriks. Sifat-sifat operasi perkalian matriks meliputi sifat asosiatif, distributif, dan memiliki matriks identitas I. Sifat-sifat operasi perkalian matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.

Sifat-sifat matriks di atas dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan dalam melakukan operasi hitung matriks.

Sekarang, pembahasan kita masuk pada perkalian dua matriks. Untuk pembahasan pertama kita akan mempelajari cara melakukan perkalian matriks dengan ukuran 2   2 dan matriks dengan ukuran 2   1.

Proses cara melakukan operasi perkalian matriksdengan ukuran 2   2 dan matriks dengan ukuran 2   1 dapat disimak pada pembahasan di bawah.

Diketahui:

Perkalian dua matriks   dapat diperoleh dengan cara di bawah.

Selanjutnya adalah perkalian dua matriks. Kedua matriks yang akan dioperasikan sama-sama berukuran 2   2. Selengkapnya, simak pembahasan di bawah.

Diketahui:

Maka perkalian dua matriks   dapat diperoleh dengan cara di bawah.

Untuk lebih jelasnya akan ditunjukkan dari contoh soal operasi perkalian dua matriks seperti yang ditunjukkan di bawah.

   

 Kesamaan Dua Matriks

matriks berikut  adalah matriks simetris karena memenuhi M=M^T

Dua buah matriks dikatakan sama jika memenuhih kriteria berikut ini

1. ordonya sama

2. komponen yang seletaknya sama

permasalahan yang muncul dalam kesamaan dua matriks ini adalah menyelesaikan bentuk aljabar. baik aljabar sederhana, sistem persamaan linier , persamaan kuadrat, dan sebagainya.

yang harus kita lakukan untuk menyelesaikan soal kesamaan dua matriks adalah menyamakan kompoenen-komponen yang seletak dan mengeluarkannya dari matriks. setelah itu selesaikan dengan aljabar.

kesamaan dua matriks biasanya berhubungan dengan operasi matriks. dimana matriks yang kiri setelah dioperasi kan menjadi sama dengan yang kanan.

contoh soal :

1. Diketahui

jika A = B, tentukan a + b +c + d
terlebih dahulu tentukan nilai a,b,c dan d
karena A=B, berarti komponen-komponen matriks A dan matriks B yang seletak harus sama.

1=d-4, d=5
a=3
7=b+2, b=5
c=8
sehingga a+b+c+d = 5+3+5+8=21

2. Diketahui

tentukan xy,

karena dua matriks tersebut sama berarti komponen-komponen yang seletaknya juga sama
4=y
2=x+y, 2=x+4. x=-2
berarti xy=(-2)(4)=-8

Determinan Matriks

Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau  . Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2.

Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Seperti yang sobat idschool sudah ketahui, matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.

Nilai determinan A disimbolkan dengan  , cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.

Contoh Soal:
Tentukan nilai determinan matriks

Pembahasan:

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Matriks Ordo 3 adalah matriks bujur sangkar dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Bentuk umum matriks ordo 3 adalah sebagai berikut.

Cara menghitung determinan pada matriks dengan ordo tiga biasa disebut dengan Aturan Sarrus. Untuk lebih jelasnya, lihat penjelasan pada gambar di bawah.

Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:

Maka,

Selanjutnya, pembahasan kita akan berlanjut ke invers matriks.

Invers Matriks

Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar   dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar   maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks).
Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar   dan   akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).

Invers Matriks Ordo 2 x 2

Invers dari suatu matirks A

dinyatakan dalam rumus di bawah.

Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.
Diketahui:

Invers Matriks Ordo 3 x 3

Cara untuk menentukan nilai invers matriks A dengan ordo 3 x 3 tidak sama dengan cara menentukan invers matriks dengan ordo 2 x 2. Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2. Melalui halaman ini, idschool akan berbagi cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3. Simak ulasannyna pada pembahasan di bawah.

Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Simak penjelasannya pada uraian di bawah.

1.Matriks Minor

Diketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.

Matriks minor   adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah.

Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A.

2. Kofaktor

Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan   dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.

Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.

3. Adjoin

Secara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah.

Keterangan:   adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.
Sehinnga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.

4.Invers Matriks

Bagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih.

Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih. Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.

Dengan substitusi nilai determinan matriks dan adjoin matriks maka akan diperoleh invers matriknya.

Agar lebih jelas, akan diberikan contoh soal cara mencari invers matriks berodo 3. Simak langkah-langkah yang diberikan di bawah.
Contoh soal menentukan invers matriks berordo 3 x 3
Tentukan invers matriks B yang diberikan pada persamaan di bawah.

Menentukan Kofaktor:

Berikut ini adalah hasil perhitungan nilai-nilai kofaktor untuk matriks B. Silahkan lihat kembali bagaimana cara mendapatkan nilai kofaktor pada rumus yang telah dibahas di atas jika belum hafal rumusnya.

Untuk menentukan invers B, kita membutuhkan matriks adjoin B. Sehingga, kita perlu menentukan matriks adjoin B terlebih dahulu.

Menentukan Adjoin B:

Adjoin dari matriks B, sesuai dengan persamaan di atas akan diperoleh hasil seperti berikut.

Menentukan Invers Matriks B:

Persamaan umum untuk invers suatu matriks dinyatakan melalui persamaan di bawah.

Sehingga, diperoleh invers matriks B seperti hasil berikut.

Contoh soal dan jawaban matriks

Soal No. 1

Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai berikut:

Tentukan A − B

Pembahasan

Operasi pengurangan matriks:

Soal No. 2

Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini,

Tentukan 2A + B

Pembahasan

Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan:

<<NEXT PAGE>>

Klik link diatas untuk melanjutkan mengerjakan soal matriks no 3 - seterusnya. akan dibahas lebih dalam mengenai contoh soal matriks dan jawabannya.