Rangkuman Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran - Materi Persmaan lingkaran biasanya akan dibahas setelah irisan kerucut. beberapa hal yang akan kita pelajari pada materi ini adalah bentuk umum persamaan lingkaran.  itu adalah pondasi dasar yang harus ada di luar kepala.

subbab terkait diantaranya adalah kedudukan garis terhadap lingkaran, persaman lingkaran melalui 3 titik dan lain sebagainya. semua akan dibahas dalam postingan ini. mimin sudah menyediakan contoh soal dan pembahasannya. 

sebagai pengingat coba baca beberap rumus berikut.

Sehingga, untuk menentukan  persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Menentukan pusat dan jari—jarinya
2. Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai
(x-a)2 + (y – b)2  = r2 atau x2 + y2 = r2

Persamaan Jarak pada Lingkaran

1. Jarak titik (x1 , y1) ke titik (x2 , y2)

2. Jarak titik (x1 , y1) ke garis Ax + By + C = 0

Persamaan Garis Singgung

Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:

1. Apabila diketahui titik pada lingkaran
Terdapat titik (x1 , y1) pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:

Persamaannya menjadi:

2. Apabila diketahui titik di luar lingkaran
a. Tentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
b. Melalui titik potong antara garis kutub
c. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub (polar) dan

3. Diketahui Gradien
Apabila diketahui titik () dengan gradien m pada lingkaran.

Kedudukan Dua Lingkaran

Apabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akan:
1. Saling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2
2. Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r1 – r2|
3. Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2
4. Saling berpotongan, sehingga |r1 – r2| < d <  r1 + r2
5. Lingkaran di dalam lingkaran, sehingga d = ˂ r1 – r2

Contoh soal dan pembahasan irisan dua lingkaran

Soal No. 1

Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut! 

Tentukan:

a) koordinat titik pusat lingkaran

b) jari-jari lingkaran

c) persamaan lingkaran

Pembahasan

a) koordinat titik pusat lingkaran

pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)

b) jari-jari lingkaran

sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3

c) persamaan lingkaran

lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:

(x − a)2 + (y − b)2 = r2 

dimana a = 5, dan b = 6

sehingga

(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32

(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9

Soal No. 2

Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0

Tentukan:

a) titik pusat lingkaran

b) jari-jari lingkaran

Pembahasan 

Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 

akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] . 

Dari persamaan lingkaran diatas nilai :

A = −8, B = 4 dan C = − 5

a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)

b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5

Soal No. 3

Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...

A. 5 dan (−2, 3)

B. 5 dan (2, −3)

C. 6 dan (−3, 2)

D. 6 dan (3, −2)

E. 7 dan (4, 3)

Pembahasan

x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 

A = 4

B = −6

C = −12 

Pusat: 

Jari-jari: 

Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).

Soal No. 4

Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …

1. (-6,4)

2. (6,4)

3. (-1,4)

4. (1,4)

5. (5,4)

Pembahasan

Diketahui:

y = 4

Untuk mencari x:

(x + 6)2 + (y + 1)2 = 25

(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25

(x +6)2 + 25 = 25

(x + 6)2 = 0

x = -6

Sehingga lingkaran menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4)

Jawaban : A

Soal No.5

Diketahui lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0  melalui titik A(5,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan …

1. √7

2. 3

3. 4

4. 2√6

5. 9

Pembahasan 

Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan:

x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0

x = 5, y = -1

52 + (-1)2 – 4(5) + 2(-1)  + C = 0

25 + 1 – 20 – 2 + C = 0

C = – 4

Maka persamaannya menjadi  x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0

A = 4, B = 2, C = – 4

Jawaban : B

Soal No.6

Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 adalah …

1. x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0

2. x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0

3. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 17 = 0

4. x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0

5. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 1 = 0

Pembahasan

Diketahui: A = 3, B = – 4, x1 = – 1, y1 = 1, C= 12

Jarak titik (-1, 1) ke garis 3x – 4y + 12 = 0:

Maka persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) → P (-1, 1) dan jari-jari 1 (d = r):

(x – a)2 + (y –b)2 = r2

(x – (–1))2 + (y – 1)2 = 12

(x+1)2 + (y –1)2 = 1

x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0

Jawaban : A

Soal No. 7

Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1/2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

E. 8

Pembahasan

Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu: 

Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah 

Jari-jarinya: 

Diameternya adalah 2 × 4 = 8

Soal No. 8

Diberikan persamaan lingkaran:

x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0. 

Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran! 

Pembahasan

Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:

Titik A (2, 1)

x = 2

y = 1

x2 + y2 −4x + 2y − 4 

= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4 

= 4 + 1 − 8 + 2 − 4

= −5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran

Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran.

Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

NEXT PAGE >> 1 2 3