Irisan Dua Lingkaran : Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Irisan dua lingkaran - materi Irisan dua lingkaran merupakan salah satu materi dalam matematika yang sangat asyik untuk dibahas. selain materi yang di cakup cukup banyak, materi lingkaran juga memiliki kesulitan tersendiri dalam mempelajarinya.

lalu dengan kesulitan seperti itu apakah lantas kita akan menyerah? tentu tidak. apapun materinya kita harus yakin bisa. karena disini juga disediakan contoh soal irisan dua lingkaran dan pembahasannya. 

Pengertian lingkaran, lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu. 

Irisan Dua Lingkaran - Materi, Contoh Soal dan pembahasan

Kedudukan dua Lingkaran

Jika M1M2 merupakan jarak antara dua pusat lingkaran dan r1 dan r2 merupakan jari-jari kedua lingkaran, maka :

1. Berpotongan
Dua lingkaran dikatakan berpotongan jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran
M1M2 < r1 + r2

2. Bersinggungan
Dua lingkaran dikatakan bersinggungan luar jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran M1M2= r1 + r2
Dua lingkaran dikatakan bersinggungan dalam jika jarak antara kedua titik pusat lingkaranM1M2 = |r1 - r2|

3. Tidak Bersinggungan
Dua lingkaran dikatakan tidak bersinggungan luar jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran M1M2 > r1 + r2

Dua lingkaran dikatakan tidak bersinggungan dalam jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran adalah nol (M1M2 = 0 -> M1 = M2) dan r2 > r1
Namun perlu diketahui juga, dua lingkaran dapat tidak bersinggungan dalam jika salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran yang lain, M1 ≠ M2 dan r2 > r1

Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam.

“Kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya”.

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang memiliki jari-jari r1 dan r2, serta jarak kedua pusat lingkaran d adalah :

Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang memiliki jari-jari r1 dan r2 dengan r1 > r2 , serta jarak kedua pusat lingkaran d adalah :

“Kuadrat dari panjang ruas garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya”.

Baca juga :

1. Tips Memahami Materi Trigonometri 

2. Tips Memahami Materi Irisan Kerucut

Contoh soal irisan dua lingkaran

Contoh Soal 1
Dua buah roda sepeda yang jarak kedua porosnya adalah 78 cm, roda pertama memiliki panjang jari-jari 50 cm dan roda kedua 20 cm. Pada kedua roda dipasang rantai. Tentukan panjang rantai yang tidak menempel pada roda!

Penyelesaian
Permasalahan di atas merupakan penerapan dari konsep garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Jadi, diketahui bahwa panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 72. maka panjang rantai yang tidak menempel pada roda sepeda adalah 72 x 2 = 144, yaitu untuk rantai bagian atas dan bagian bawah masing 72.

Contoh soal 2
Sebanyak 8 buah tabung disusun seperti pada gambar di samping, kemudian diikat dengan seutas tali. Jika panjang jari-jari tabung 14 cm, maka tentukan panjang tali terpendek yang digunakan untuk mengikat tabung-tabung tersebut!

Penyelesaian
1. Jarak pusat dua lingkaran = diameter lingkaran = 28 cm
2. Jumlah panjang tali di sudut-sudut tabung = keliling lingkaran = πd = 88 cm
Jadi, panjang tali terpendek yang digunakan untuk mengikat tabung adalah :
(8 x 28 cm) + 88 cm = 312 cm

Contoh Soal 3
Dua lingkaran pada bidang mempunyai titik pusat yang sama. Jari-jari lingkaran besar adalah empat kali jari-jari lingkaran kecil. Jika luas daerah di antara kedua lingkaran adalah 8 satuan luas, hitunglah luas daerah lingkaran kecil.

Penyelesaian
Misalkan jari-jari lingkaran besar = R dan jari-jari lingkaran kecil = r sehingga diperoleh
R = 4r
Dengan demikian,

Jadi, luas daerah lingkaran kecil adalah 8/15 satuan luas.

Contoh soal 4
Pak Agus sedang merancang sebuah gerobak seperti tampak pada gambar di bawah ini.

Pada salah satu sisi gerobak tersebut terdapat sebuah papan berbentuk trapesium yang menghubungkan kedua roda gerobak. Apabila jari-jari roda yang besar adalah r1 = 13 cm, jari-jari roda yang kecil adalah r2 = 6 cm, jarak titik pusat roda L1 dan roda L2 adalah M1M2 = 25 cm, maka berapakah luas papan yang menghubungkan kedua roda tersebut?

Penyelesaian
Kita hitung terlebih dahulu panjang garis singgung persekutuan luar PQ.

Adapun luas trapesium PM1M2Q adalah

Jadi, luas papan penghubung kedua roda tersebut adalah 228 cm2 

Saran Artikel : Tips memahami materi matriks

Contoh Soal 5
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0 
L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0 
Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut berpotongan!

Penyelesaian
Syarat dua lingkaran berpotongan adalah jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran lebih kecil dari jumlah kedua jari-jari lingkaran. Misalkan M1M2 merupakan jarak antara dua pusat lingkaran dengan r1 dan r2 adalah jari-jari kedua lingkaran, maka M1M2 < r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (8) , -1/2 (6)) = (-4, -3)
dan

L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0
mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-8) , -1/2 (-6)) = (4,3)
dan

M1M2 merupakan jarak dari (-4 , -3) ke (4,3).

Karena r1 + r2 = 9 + 7 = 16 dan M1M2 = 10, maka M1M2 < r1 + r2.
Dengan demikian, kedua lingkaran berpotongan.

Contoh soal 6
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0 
L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0 
Tunjukkan bahwa lingkaran saling bersinggungan di luar!

Penyelesaian
Syarat dua lingkaran bersinggungan di luar adalah
M1M2 = r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (6) , -1/2 (-4)) = (-3, 2)
dan

L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0
mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-12) , -1/2 (20)) = (6 , -10)
dan

M1M2 merupakan jarak dari (-3 , 2) ke (6 , -10).

Karena r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2 maka kedua lingkaran bersinggungan di luar.

Saran Artikel :  Contoh soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri
Saran Artikel : Persamaan Lingkaran (Disertai Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap)

Contoh soal 7
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0 
L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0 
Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan!

Penyelesaian
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (20) , -1/2 (-12)) = (-10, 6)
dan

L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-4) , -1/2 (-2)) = (2,1)
dan

Ada dua jenis lingkaran dikatakan tidak berpotongan, yaitu dua lingkaran tidak berpotongan luar dengan M1M2 > r1 + r2 dan dua lingkaran tidak berpotongan dalam (sepusat / jarak antara dua titik pusat lingkaran (M1M2) adalah nol ⟺ M1 = M2 dan r1 > r2 dan tidak sepusat).

Sekarang, kita akan mengecek titik pusat dari kedua lingkaran tersebut untuk menunjukkan kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar atau tidak berpotongan dalam.

Titik pusat lingkaran pertama terhadap lingkaran kedua.
Substitusi pusat (-10,6) terhadap lingkaran L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0

Karena
K = (-10)2 + 62 - 4(-10) - 2(6) - 11 = 100 + 36 + 40 - 12 - 11 = 153 > 0 
maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran kedua.

Titik pusat lingkaran kedua terhadap lingkaran pertama.
Substitusi pusat (2,1) terhadap lingkaran L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0
Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0

Karena
K = 22 + 12 + 20(2) - 12(1) + 72 = 4 + 1 + 40 - 12 + 72 = 103 > 0 
maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran pertama.

Jadi , dapat kita simpulkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan dalam, selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar.

Syarat dua lingkaran tidak berpotongan luar adalah
M1M2 > r1 + r2
M1M2 merupakan jarak dari (-10,6) ke (2,1)

Karena
M1M2 = 13
r1 + r2 = 8 + 4 = 12
maka M1M2 > r1 + r2
Dengan demikian, kedua lingkaran tidak berpotongan di luar.

Contoh soal 8
Diketahui jari-jari lingkaran L1 yaitu r1 = 13cm dan jari-jari L2 yaitu r2 = 6cm.
Jika jarak titik pusat kedua lingkaran adalah M1M2 = 25cm, maka tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut!

Penyelesaian
Diketahui :
• r1 = 13cm
• r2 = 6cm
• M1M2 = 25cm
Ditanyakan : panjang garis singgung persekutuan luar PQ

Jadi , panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm.

sekian soal dan pembahasan irisan dua lingkarannya. pada materi lain mungkin akan dibahas pula tentang luas irisan dua lingkaran beserta tali busur persekutuan dua lingkaran. semoga dapat bermanfaat bagi teman-teman yang membaca