Soal Transformasi Geometri Kelas 11 [+Cara dan Pembahasan]

Transforamsi Geometri

Pengertian Transformasi Geometri  diartikan sebagai perubahan, atau secara umum dapat diartikan sebagai perubahan benda-benda geometris dari suatu posisi ke posisi yang lain. Dalam pembahasan di halaman ini, penjabaran yang akan diuraikan meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Materi yang akan dibahas meliputi ilustrasi perubahan dan rumus transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi, dilatasi..

Materi Transformasi Geometri  ini didapatkan ketika kelas 12. Rumus pada transformasi geometri akan memudahkan sobat untuk menentukan hasil transformasi tanpa harus menggambarnya dalam bidang kartesius terlebih dahulu. mari langsung kita simak ya.

Translasi (Pergeseran)

Materi pertama tentang rumus transformasi geometri yang akan dibahas adalah translasi (pergeseran). Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan menambahkan absis dan ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan. Untuk lebih jelasnya mengenai proses translasi dapat dilihat pada gambar di bawah. dan jangan lupa untuk mengerjakan contoh soal transformasi geometri (translasi)

Refleksi (Pencerminan)

Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada refleksi/pencerminan.

Selanjutnya, mari perhatikan uraian matriks transformasi untuk setiap jenisnya.
Pencerminan terhadap sumbu x

Pencerminan Terhadap Sumbu y

Pencerminan terhadap Garis y = x

Pencerminan terhadap Garis y = – x 

Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)

Pencerminan terhadap Garis x = h

Pencerminan terhadap Garis y = k

Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar a disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah - a. Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi. Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar 135’ dengan pusat O (0,0) pada gambar di bawah.

Mendapatkan hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dahulu akan sangat tidak efektif. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil objek hasil rotasi, yaitu dengan menggunakan rumus transformasi geometri untuk rotasi. Simak lebih lanjut rumusnya pada pembahasan di bawah.
Rotasi dengan Pusat O (0,0) sebesar α

Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar α  

Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar α kemudian sebesar β 

Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar α kemudian sebesar β

Adapun rumus yang digunakan dalam rotasi transformasi geometri, antara lain:

Rotasi sebesar 90° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (-y + a+b, x -a + b)
Rotasi sebesar 180° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (-x + 2a+b, -y + 2b)
Rotasi sebesar -90° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (y – b + a, -x + a + b)
Rotasi sebesar 90° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (-y, x)
Rotasi sebesar 180° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (-x, -y)
Rotasi sebesar -90° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (y, -x)

Selanjutnya kita akan membahas dilatasi. perlu diketahui teman-teman juga dapat membaca makalah transformasi geometri disana akan tersedia cukup banyak materi penunjang materi transformasi geometri pdf.

Dilatasi

Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda. Ukuran benda dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Selanjutnya perhatikan uraian rumus untuk transformasi geometri pada dilatasi di bawah.
Dilatasi titik A (a,b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m

Dilatasi titik A (a,b)  terhadap pusat P(k,l) dengan faktor skala m

Komposisi Transformasi dengan Matriks

Proses menentukan hasil tranformasi dapat diperoleh melalui perkalian matriks yang mewakili matriks transformasi geometrinya. Namun, peletakan matriksnya berkebalikan dengan proses transformasinya. Misalkan sebuah transformasi geometri yang dinyatakan dalam dilatasi sebesar k dilanjutkan rotasi sebesar a dengan pusat O (0,0) Maka persamaan perkalian matriks yang dibentuk adalah matriks rotasi sebesar a dengan pusat O (0,0) maka persamaan perkalian matriks yang dibentuk adalah amtriks rotasi sebesar a dengan pusat O (0,0) dikali matriks dilatasi sebesar k. untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal dan pembahasan transformasi geometri kelas 11

Soal Transformasi Geometri Rotasi

Soal Transformasi Geometri Dilatasi

Soal Komposisi Transformasi dengan Matriks

Contoh Soal Transformasi Geometri

Soal No. 1

Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)!

A. (8, 4)

B. (-8, 4)

C. (8, -4)

D. (-4,- 8)

E. (4, 8)

Pembahasan

Soal No. 2

Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]!

A. (1, 3)

B. (3, 1)

C. (-1, -3)

D. (3, -1)

E. (1, -3)

Pembahasan

Soal No. 3
a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi T= (4,2)

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) 

b) ) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi T=(4,2)

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Soal No. 4
Disediakan suatu persamaan garis lurus
Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)

Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:
x’ = x + 2 → x = x’ – 2 
y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal
y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5

Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:
y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x

Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5
Misal:
Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)
Titik B, untuk Y = 0 → x = – ⁵ /₃ dapat titik B (– ⁵/₃ , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)
A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:

Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

ax + by = c
Translasi T (p, q)
Hasil :
ax + by = c + ap + bq

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.
y = 3x + 5
atau
3x − y = − 5
oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:
3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)
3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0
atau
y = 3x

Soal No. 5
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8

Pembahasan
Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k
a) Terhadap garis x = 10
           x = h
(a, b) ----------> (2h − a,  b)

           x = h
(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3,  5) = (17,  5)

b) Terhadap garis y = 8
           y = k
(a, b) ----------> (a, 2k − b)

            y = k
(3, 5) ----------> ( 3,  2(8) − 5) = (3,  11)

Soal No. 6
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x

Pembahasan
a) Terhadap garis y = x
           y = x
(a, b) ----------> ( b, a)

           y = x
(3, 5) ----------> (5, 3)

b) Terhadap garis y = − x
           y = − x
(a, b) ----------> ( − b, − a)

            y = − x
(3, 5) ----------> (− 5, − 3) 

Soal No. 7

Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis y = -x!

x – 2y + 5 = 0

x + 2y – 5 = 0

x – 2y – 5 = 0

2x – 2y – 5 = 0

2x – 2y + 5 = 0

Pembahasan

(x, y) ó (-y, -x)

x’ = -y , y’ = -x

2(-y’) – (-x’) = 5

x’ – 2y’ – 5 = 0

Jadi bayangan x – 2y – 5 = 0

Soal No. 8

Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2!

A. 3x + 4y + 12 = 0

B. 3x + 4y – 12 = 0

C. 3x – 4y + 12 = 0

D. -3x + 4y + 12 = 0

E. 3x – 4y – 12 = 0

Pembahasan

Soal No. 9

Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'

Pembahasan

 Sehingga

Catatan:

sudut α positif → berlawanan arah jarum jam

sudut α negatif → searah jarum jam

Soal No. 10

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks 

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....

A. x + y − 3 = 0

B. x − y − 3 = 0

C. x + y + 3 = 0

D. 3x + y + 1 = 0

E. x + 3y + 1 = 0

Pembahasan

Transformasi oleh matriks 

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya 

Gabungan dua transformasi:

Terlihat bahwa

y' = − y

y = − y'

x' = x + 2y

x' = x + 2(− y')

x' = x − 2y'

x = x' + 2y' 

Jadi:

x = x' + 2y' 

y = − y'

Masukkan ke persamaan awal

y = x + 1

(− y') = (x' + 2y' ) + 1

x' + 3y' + 1 = 0

Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0

sekian ya contoh soal dan pembahasan transformasi geometri semoga dapat bermanfaat.