Contoh Soal Trigonometeri Kelas 10 [+ Cara dan Pembahasan]

Contoh Soal Trigonometri Kelas 10 - Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur")[1] adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sebuah segitiga dengan salah satu sudutnya berupa :

Sisi AB merupakan sisi miring segitiga
Sisi BC merupakan sisi depan sudut
Sisi AC merupakan sisi samping sudut

Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangent (cot), yang mana sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus kebalikan dari secan dan tangent kebalikan dari cotangent.
Sinus, Cosinus dan Tangent digunakan untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga.

Dengan gambar segitiga diatas, nilai Sinus, Cosinus dan Tangent diperoleh dengan cara sebagai berikut:

Sudut Istimewa

Berikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:
3

Dalam Kuadran

Sudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

- Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
- Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
- Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
- Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Perhatikan tabel trigonometri di bawah ini:

Identitas Trigonometri

Dalam suatu segitiga siku-siku, selalu berlaku prinsip phytagoras, yaitu $a^2+b^2=c^2$ . Pada materi ini, prinsip phytagoras ini menjadi asal pembuktian identitas trigonometri sendiri.

$a^2+b^2=c^2$ bagi kedua ruas dengan $c^2$ , diperoleh persamaan baru $\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1$ . Sederhanakan dengan sifat eksponensial menjadi $(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2$ . Dari persamaan terakhir, subtitusi bagian yang sesuai dengan perbandingan trigonometri pada segitiga, yaitu $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ dan $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ , sehingga diperoleh $(\sin \alpha^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$ atau bisa ditulis menjadi $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ .

Dari identitas yang pertama, dapat diperoleh bentuk lainnya, yaitu:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ bagi kedua ruas dengan $\cos^2 \alpha$ , diperoleh $(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ dimana $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ dan $\frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$ , sehingga diperoleh: $\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$

Bentuk ketiga yaitu $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ dibagi dengan $\sin^2 \alpha$ menjadi $1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sin^2 \alpha}$ , dimana $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$ dan $\frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha$ , sehingga diperoleh persamaan: $1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ .

Contoh Soal Trignometri Kelas 10

Soal No. 1

Pada suatu lingkaran dibuat sebuah segi delapan beraturan seperti gambar di bawah.

Jari-jari lingkaran adalah 12 cm.

Tentukan:

a) panjang sisi segi-8

b) kelililing segi delapan tersebut!

Pembahasan

Segi delapan tersusun dari 8 buah segitiga sama kaki, dengan kedua kakinya panjangnya 12 cm, sama dengan jari-jari lingkaran.

Ambil satu segitiga,

a) panjang sisi segi-8

Terapkan aturan kosinus sebagai berikut:

b) Keliling segi delapan adalah 8 kali dari panjang sisinya

Soal No. 2

Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Tentukan panjang sisi segi-8 tersebut!

Pembahasan

n = 8

r = 8 cm

Disini akan digunakan rumus jadi menentukan panjang sisi dari suatu segi-n dalam lingkaran yang berjari-jari r

atau bentuk lain

dengan format kedua diperoleh

Soal No. 3

Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:

a) ¹/₂ π rad

b) ³/₄ π rad

c) ⁵/₆ π rad

Pembahasan

Konversi:

1 π radian = 180°

Jadi:

a) ¹/₂ π rad

b) ³/₄ π rad

c) ⁵/₆ π rad

Soal No. 4

Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):

a) 270°

b) 330°

Pembahasan

Konversi:

1 π radian = 180°

Jadi:

a) 270°

b) 330°

Soal No. 5

Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Tentukan:

a) panjang AC

b) sin θ

c) cos θ

d) tan θ

e) cosec θ

f) sec θ

d) cotan θ

Pembahasan

a) panjang AC

Dengan phytagoras diperoleh panjang AC

b) sin θ

c) cos θ

d) tan θ

e) cosec θ

f) sec θ

g) cotan θ

Soal No. 6

Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.

Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!

Pembahasan

Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.

sin 30° =¹/₂

sin 30° = BC/AC

BC/AC =¹/₂

BC = ¹/₂ × AC =¹/₂ × 8 = 4 meter

Lebar jalan = BC = 4 meter

Soal No. 7

Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!

Pembahasan

Data

AC = ⁵/₃ √6 cm

BC = 5 cm

Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu

Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah

∠C = 180 − (60 + 45) = 75°

Soal No. 8

Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.

Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!

Pembahasan

Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.

Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga

Soal No. 8

Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !

Pembahasan

Segitiga PQR

Berlaku aturan sinus

Besar sudut P dengan demikian adalah 45°

Soal No. 9

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.

Tentukan luas segitiga ABC!

Soal No. 10

Segitiga samakaki ABC dengan sudut C = 30°.

Jika panjang BC = 12 cm, tentukan panjang AB!

Pembahasan

Dengan aturan kosinus

diperoleh

Soal No. 11

cos 315° adalah....

A. − ¹/₂ √3

B. − ¹/₂ √2

C. − ¹/₂

D. ¹/₂ √2

E. ¹/₂ √3

(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan

Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:

cos (360° − θ) = cos θ

Sehingga

cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = ¹/₂ √2

Soal No. 12

Diketahui:

PQ = 6 cm, QR = 9 cm dan ∠PQR = 120°

Tentukan kelililing segitiga PQR

Pembahasan

Mencari panjang PR

Keliling segitiga

= 6 cm + 9 cm + 3√19

= (15 + 3√19) cm

Soal No. 13

Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.

Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.

Pembahasan

tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut

Tinggi menara sekitar 34 meter.

Soal No. 14

Sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui nilai dari sin β = ²/₃. Tentukan nilai dari :

a) cos β

b) tan β

Pembahasan

sin β = ²/₃ artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3

Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):

Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah

Soal No. 15

Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!

Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!

Pembahasan

Pada segitiga berlaku:

Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3

sekian ya pembahasan tentang contoh soal trigonometri kelas 10. semoga dapat membantu

Thursday 23 July 2020

Contoh Soal Trigonometeri Kelas 10 [+ Cara dan Pembahasan]

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sudut Istimewa

Dalam Kuadran

Identitas Trigonometri

Contoh Soal Trignometri Kelas 10

3 comments

Follow Us

Popular Posts