![Contoh Soal Program Linear Kelas 10 [+Cara dan Pembahasan]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUN59FcyUMGwIfj0C2SFi5Om3eB25qVRLBudZRL4D4vsj6DTOVcMyVoRZfJ_YVpOKOU1tkyLwF7PQxFrObkyBGt1Jg4C1sxUivZwocz-1njyruz8s_wcVb1dZ1Mq5NPEHcot9vwhjVewU/s720/program+linear.png "Contoh Soal Program Linear Kelas 10 [+Cara dan Pembahasan]")
Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.
Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear. dalam kenyataanya juga terdapa soal cerita program linear yang akan langsung kita bahas ya...
Program Linear
Model Matematika Program Linear
Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.
Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua.
Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:
Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:
Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:
Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
Masing-masing model harus terbuat.
Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:
Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y
Syarat:
200x + 180y ≤ 72.000
150x + 170y ≤ 64.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Nilai Optimum Fungsi Objektif
Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.
Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :
Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya.
Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
Menggunakan garis selidik
Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
Menggunakan Garis Selidik
Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah
ax + by = Z
Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:
Cara 1 (syarat a > 0)
Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
Cara 2 (syarat b > 0)
Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut.
Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.
Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim
Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.
Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.
Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.
Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim
Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.
Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.
Latihan Soal Program Linear dan Pembahasan
Contoh Soal 1Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.
Pembahasan 1:
Langkah 1 menggambar grafiknya
Langkah 2 menentukan titik ekstrim
Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.
Lankah 3 menyelidiki nilai optimum
Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.
Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18
Contoh Soal 2
Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!
Pembahasan 2:
Titik ekstrim pada gambar adalah:
A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
B(3, 6)
C(8, 2)
D(8, 0)
Nilai tiap titik ekstrim adalah:
Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.
Contoh Soal 3
Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.
Pembahasan 3:
Dengan syarat:
Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Diagramnya:
Titik ekstrim:
A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:
Sehingga jumlah masimum:
Apel: 150 kg
Pisang: 250 kg
Contoh soal dan Pembahasan
Soal No. 1
Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah…
A. 14
B. 20
C. 23
D. 25
E. 35
Pembahasan
Langsung cari titik potongnya dulu:
2x + y = 7
x + y = 5
------------ −
x = 2
y = 3
Dapat titik A (2, 3)
Berikut grafik selengkapnya:
Uji titik
f(x, y) = 4x + 5y
A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23
B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20
C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35
Terlihat nilai minimumnya adalah 20.
Soal No. 2
Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem
pertidaksamaan linear.
Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah....
A . 88
B. 94
C. 102
D. 106
E. 196
Pembahasan
Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:
Cara pertama dalam membuat persamaan garis
y − y1 =
m (x − x1)
dengan
m = Δy/Δx
Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/−12 = −
5/3
y − 20 = − 5/3 (x − 0)
y − 20 = − 5/3 x
y + 5/3 x = 20
3y + 5x = 60
Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :
m = 15/−18 = − 5/6
y − 15 = − 5/6 (x − 0)
y + 5/6 x = 15
6y + 5x = 90
Cara kedua dalam
membuat persamaan garis
bx + ay = ab
Untuk garis yang
memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:
20x + 12 y = 240
sederhanakan lagi
5x + 3y = 60
Untuk garis yang
memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:
15x + 18y = 270
sederhanakan lagi
5x + 6y = 90
Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90
3y + 5x = 60
_________ -
3y = 30
y = 10
3(10) + 5x = 60
5x = 30
x = 6
Titik potong kedua garis adalah (6, 10)
Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y
Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0
Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84
Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90
Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102
Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102
Soal No. 3
Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....
A. Rp 176.000,00
B. Rp 200.000,00
C. Rp 260.000,00
D. Rp 300.000,00
E. Rp 340.000,00
Pembahasan
Membuat model matematika dari soal cerita di atas
Misal:
mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.
Luas parkir 1760 m2:
4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi
x + 5y ≤ 440.......(Garis I)
Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:
x + y ≤ 200 ..............(Garis II)
Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:
f(x, y) = 1000 x + 2000 y
Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2
Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,
Garis 1
x + 5y = 440
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 5(0) = 440
x = 440
Dapat titik (440, 0)
Titik potong sumbu y, x =0
0 + 5y = 440
y = 440/5 = 88
Dapat titik (0, 88)
Garis 2
x + y = 200
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 0 = 200
x = 200
Dapat titik (200, 0)
Titik potong sumbu y, x =0
0 + y = 200
y = 200
Dapat titik (0, 200)
Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2
Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.
x + 5y = 440
x + y = 200
____________ _
4y = 240
y = 60
x + y =200
x + 60 = 200
x = 140
Titik potong kedua garis aalah (140, 60)
Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.
Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:
Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y
Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0
Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000
Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000
Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000
Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000
Soal No. 4
Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk
membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk
membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I
dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp
400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak
masing-masing barang harus dibuat?
A. 6 jenis I
B. 12 jenis II
C. 6 jenis I dan 6 jenis II
D. 3 jenis I dan 9 jenis II
E. 9 jenis I dan 3 jenis II
Pembahasan
Barang I akan dibuat sebanyak x unit
Barang II akan dibuat sebanyak y unit
Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:
x + 3y ≤ 18
2x + 2y ≤ 24
Fungsi objektifnya:
f(x, y) = 250000 x + 400000 y
Titik potong
x + 3y = 18 |x2|
2x + 2y = 24 |x 1|
2x + 6y = 36
2x + 2y = 24
____________ _
4y = 12
y = 3
2x + 6(3) = 36
2x = 18
x = 9
Titik potong kedua garis (9, 3)
Berikut grafik selengkapnya:
Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y
Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0
Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000
Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000
Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000
Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9
barang jenis I dan 3 barang jenis II.
Soal No. 5
Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah…
A. Rp102.000,00
B. Rp96.000,00
C. Rp95.000,00
D. Rp92.000,00
E. Rp86.000,00
Pembahasan
Gorengan jadi x, bakwan jadi y
Modelnya:
1000x + 400y ≤ 250000, sederhanakan, bagi 100 dapat persamaan (i)
(i) 10x + 4y ≤ 2500
(ii) x + y ≤ 400
f(x,y) = 300x + 200y
Titik potong garis (i) dan (ii) dengan sumbu x dan y masing-masing:
Grafik selengkapnya:
Uji titik A, B, C
Soal No. 6
Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin
membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap
dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan
uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung
Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum
yang diterima pedagang adalah…
A. Rp13.400.000,00
B. Rp12.600.000,00
C. Rp12.500.000,00
D. Rp10.400.000,00
E. Rp8.400.000,00
Pembahasan
Banyak sepeda maksimal 25
Uang yang tersedia 42 juta
Titik potong (i) dan (ii)
Keuntungan
Jawaban: A
sekian dulu ya tentang Contoh soal program linear kelas 10 nya. dari apa yang sudah kita pelajari diatas seperti contoh soal program linear maksimum dan minimum, contoh soal program linear metode grafik dan contoh soal program linear dalam kehidupan sehari-hari dapat kita ambil hikmahnya. jangan lupa berkunjung kembali..
